为便于理解时间旅行并建立基础概念框架，我们在第一章中讨论时间旅行时多用了非正式的术语。本章将延续前篇内容，并以更多通俗的方法来分析时间循环。下一章将介绍更正式的方法，但现在更重要的是有一个具体的理解。
自举悖论
想了解时间循环，必须先通晓不同世界线间的“连通性”。当前每条已知世界线都与其他所有已知世界线双向相连，不过理论上在原初宇宙中有部分多出的世界线可通往当前集合，但无法返回。这些存于理论中，无法被观测到的额外世界线在解释自举悖论与预测可能构成的时间循环种类时十分重要。
以此循环为例：
图中上方的线是一条导致了自举循环的虚造线。尽管并未收到信息，它将信息$M$传送到了过去。过去的世界收到了信息，又将相同的信息$M$传回过去，从而构建了一个时间循环。
有时一个循环背后有不止一条可能的虚造世界线。以下图中的二阶循环为例：
（注：为简化模型，图中省略了反作用时移）
本例中，主世界线$B$与$B'$传递了互斥的信息$M$与$M'$，各自导致另一方传出信息。此自举循环可由$A$或$A'$其中任一导致。
此情况可类推至任意数量的事例：
每条世界线$B_k$都传递了不同的信息$M_{k+1}$，此信息又令$B_{k+1}$送出了其独有的$M_{k+2}$，直至$B_n$为止。$B_n$再次送出$M_1$，使循环闭合。此例中所有时间点都可能是进入点，具体则视乎 $A$一开始传送的信息而定。
课后习题
- 画出完整的一幅基础四阶定期循环图。
- （进阶）有时一条世界线会被包含进多个时间循环。已知世界线$C$与$B_1$和$B_2$间各有双向传输，且$B_1$与$B_2$间没有直接联系，试画出此循环的时间线图。
预测循环结构
很多时候我们只能观察到一个时间循环的小部分。但此时依然可从这些部分推导出其余部分或全部的结构。具体方法为将可能的结构视为马尔科夫链，并解出对应的随机矩阵。
本例中每条世界线都会送出并收到$M_1$，$M_2$与$M_3$中的一条信息。他们在收到信息前会掷一枚硬币。正面朝上时，他们会把信息的内容加上1后送出。如本身收到的是$M_3$，则会原封不动地送出。但反面朝上时，他们会无视传来的信息而只送出$M_1$。收到上述三条信息的概率各自为多少？
上图中包含了时间线中所有可能的信息传送，并可被表示为一个随机矩阵：
(1)代数方法可解出这个矩阵，但直接模拟则更为简单——在此例中两次迭代足以使世界线合而为一。最终$M_1$的渐进概率为0.5，$M_2$与$M_3$则分别为0.25。
课后习题
- 将上文例题推至五条信息。画出完整的时间线图并算出收到每条信息的概率分别为多少。
- （进阶）解出2.1课后习题2中的循环。因世界线$C$参与了不止一次循环，其概率应与单次循环中的不同。
彩票问题
现在我们有了足够的知识来理解第一章开头的彩票问题，并能明白为什么中奖的可能性仅仅略高于随机选号。
你从未来得到了一组彩票中奖号码。按此号码购买彩票的中奖概率是多少？
首先是与彩票相关的一些基础信息：
现代的彩票摇号对所有微小的改变都极为敏感，将信息送到过去极易摧毁两条时间线中中奖号码间的联系。然而根据微积分中的介值定理，至少有一条信息在传输后仍然能保持正确。该信息可能在号码外需要包含一些额外的随机数据，但为便于讨论，暂且假设我们不需要这一项。
因为几乎不可能提前确定需要发送的精确信息，虚造线可采用的最佳策略就是暴力尝试，发送每一条可能的信息直至正确为止。此后，所有迭代便可重复发送同样的信息。
然而，每次发出下一条信息时都有一个非零的失败概率，可能源于转写错误、随机软件故障或其他因素。考虑到为得到正确数字所需进行的发送数量，失败概率会逐步增长并叠加，因为只要一次失败就再也无法得到正确的数字。因为在几十亿甚至几万亿次迭代中不出任何错误才能得到正确的数字，使用你从未来收到的数字与随机选号相比仅有极小的优势。
课后习题
- 设某程序有100个步骤，每个步骤有1%的可能出错，出错则从步骤1开始重来。算出此循环长度的期望值与成功到达步骤100的概率。
- （进阶）推导出表示已知每个步骤失败概率$p$，到达步骤$n$的概率的一般式。
